Родился 10 сентября 1974 года в Нижнем Новгороде.
 
Алексей вырос в дружной и крепкой семье и был окружен добротой и лаской со стороны мамы и папы.
 
В 1981 году Алексей пошел в первый класс общеобразовательной средней школы №179 Автозаводского района Нижнего Новгорода. Во время учебы принимал активное участие в жизни класса, занимался спортом, посещал математический кружок, что помогало ему хорошо учиться. Одновременно со школой Алексей учился и занимался на детской железной дороге.
 
Он был общительным, очень доброжелательным, отличался от сверстников умением не бояться говорить правду, также обладал остро выраженным чувством справедливости.
В 1989 году после окончания школы продолжил обучение в техникуме железнодорожного транспорта. Директор техникума, говоря об Алексее, вспоминал: «Запомнился как добросовестный и серьезный студент, всегда готовый помочь товарищам в учебе. Он стремился узнать больше, чем давалось на занятиях. По характеру спокойный, уравновешенный, часто улыбавшийся Алексей пользовался уважением однокурсников».
 
Для поддержки материального состояния семьи Алексей в летние каникулы работал на Горьковском заводе аппаратуры связи имени А.С. Попова. После второго курса был направлен вожатым в пионерский лагерь «Спутник».
Окончил техникум с красным дипломом и был направлен на работу на станцию «Петряевка» Горьковской железной дороги.
 
В январе 1994 года Алексеи был призван на действительную военную службу. Служил стрелком-радистом в парашютно-десантном батальоне 234-го гвардейского Черноморского ордена Кутузова III-й степени парашютно-десантного полка (в/ч 74268) в г. Псков. Командир полка о службе Алексея отзывался коротко: «В ходе выполнения задания правительства проявил себя смелым и решительным воином, отзывчивым и мужественным боевым товарищем».
 
В январе 1995 года I-й парашютно-десантный батальон, в составе которого служил Алексей, был направлен в Чеченскую Республику.  14 января 1995 батальон участвовал в штурме президентского дворца в Грозном. Проявив храбрость, отвагу и героизм в бою, ценой своей жизни Алексей обеспечил выполнение стоявшей перед ним боевой задачи. Алексей остался верным воинской присяге и девизу своей дивизии: «Мы всюду там, где ждут победу!»
 
Указом Президента РФ от 2 февраля 1995 года гвардии рядовой Кленков Алексей посмертно награжден орденом мужества.
 
Похоронен на Нагулинском кладбище Нижнего Новгорода.